Дипломная работа на тему: Основы теории вероятностей и математической статистики

Введение

В настоящее время невозможно представить спорт и физическую культуру без науки. Правильно организованное физическое воспитание школьника, способствующее укреплению его здоровья, эффективная тренировка спортсмена, результатом которой является рост спортивных рекордов, строится на научных основах.

Наука - это точное знание, собирающее факты, и во всех них присутствуют цифры. При оценке успеваемости учеников учителем, при подсчитывании результатов на соревнованиях и т.д. - при всем этом оперируют числами, и в этом уже есть зачатки науки. Еще более научным является сбор материала для того, чтобы выявить некоторую закономерность, систему. Например, при систематизации спортивных рекордов в беге, плавании, конькобежном спорте привело к установлению общего математического закона. Подсчет количества килограммов, поднимаемых тяжелоатлетами на тренировках, и сопоставление его со спортивными достижениями позволили определить тренировочную нагрузку, которая дает наилучший результат. При анализе индивидуальной тренировочной нагрузки элементами исследуемой совокупности могут быть отдельные значения интенсивности или объема нагрузки, зарегистрированные у конкретного спортсмена в различные периоды времени. Каждый элемент совокупности может обладать рядом признаков, при этом одни признаки могут быть однородными, а другие могут изменяться. Например, элементами совокупности могут быть спортсмены - представители одного вида спорта, одинаковой квалификации, одинакового возраста, но различными могут быть показатели роста, веса, скорости движения и т.д.

Предметом изучения как раз и являются изменяющиеся признаки. Значение, принимаемое данной величиной, в каждом случае зависит от ряда факторов, которые обычно заранее не известны. Закономерности присущие подобным величинам, получили название случайных, изучаются теорией вероятностей и математической статистикой [15].

Математическая статистика устанавливает перспективность спортсменов, условия более благоприятные для тренировок и их эффективность. Также статистика помогает сделать объективные и научно обоснованные выводы при анализе спортивной деятельности. Использование методов математической статистики помогает сделать объективные, научно обоснованные выводы при анализе спортивной деятельности.

Все сказанное выше позволяет сделать вывод об актуальности вероятностно-статистической линии для лиц, занимающихся спортом высоких достижений и необходимости включения в программу классов оборонно-спортивного профиля элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики".

Цель данной работы - на основе анализа психолого-педагогической, математической и методической литературы определить содержание и разработать методику изучения основ теории вероятностей и математической статистики для школ и классов оборонно-спортивного профиля.

Для достижения поставленной цели нужно решить следующие задачи:

1) изучить психолого-педагогическую и математико-методическую литературу по теме исследования;

2) разработать методические рекомендации для преподавания элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" для классов оборонно-спортивного профиля;

3) разработать систему задач элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" и адаптировать ее к условиям, близким к классам оборонно-спортивного профиля;

4) проверить эффективность предлагаемой методики в опытном преподавании в условиях, близких к классам оборонно-спортивного профиля.

Гипотеза исследования заключается в том, что систематическое и целенаправленное изучение теории вероятностей и математической статистики в классах оборонно-спортивного профиля способствует осознанному умению применять полученные знания на практике, повышает уровень эффективности обучения, способствует развитию и поддержанию интереса к математике, а так же развитию различных форм мыслительной деятельности школьников.

Объект исследования - процесс обучения математике в классах оборонно-спортивного профиля в средней школе. Предмет исследования - изучение вероятностно-статистической линии в профильных классах.

Для реализации поставленной цели и доказательства сформулированной гипотезы при осуществлении исследования применялись следующие методы исследования:

- изучение учебных пособий и методических материалов по теме исследования;

- анализ психологической, педагогической и математико-методической литературы по рассматриваемой проблеме исследования;

- наблюдение за деятельностью учащихся;

- опытное преподавание.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка (27 источников) и приложений.

Оглавление

- Введение

- Элективные курсы в профильной школе 1.1. Профильная школа в условиях модернизации образования

- Предпрофильная подготовка учащихся средней школы

- Элективные и факультативные курсы

- Особенности элективных курсов по математике Глава 2. Методика изучения элективного курса Основы теории вероятностей и математической статистики в классах оборонно-спортивного профиля

- Содержание элективного курса Основы теории вероятностей и математической статистики

- Основные принципы построения методики изучения элективного курса

- Методика использования практико-ориентированных задач

- Методика преподавания теории вероятностей и математической статистики в средней школе

- Содержание и анализ результатов опытной работы Заключение

- Библиографический список

- Приложения

Заключение

Выпускная квалификационная работа посвящена проблемам методики обучения основам теории вероятностей и математической статистики в рамках элективного курса для профильной школы, в частности для оборонно-спортивного профиля.

В первой главе мы рассмотрели, что такое профильная школа, для чего она нужна. Также было рассмотрено значение элективных курсов в современной школе, его отличие от факультативов.

Во второй главе была рассмотрена методика преподавания теории вероятностей и математической статистики для спортсменов на основе анализа различной учебной литературы. Также был разработан элективный курс по данной теме и описано опытное преподавание данного курса.

Таким образом, цели работы были достигнуты.

На наш взгляд, разработанный элективный курс по теории вероятности и математической статистики поможет качественно усвоить школьнику этот материал, а главное, - осознанно применять полученные знание в своей практической деятельности.

Список литературы

1. Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей [Текст]: для учащихся 8-11 классов / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. - Ярославль: Академия развития, 2006. - 192 с.

2. Баранников, А.В. Элективные курсы в профильном обучении [Текст]: информационное письмо об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования / А.В. Баранников. - 2003. - 3 с.

3. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Высшая школа, 2002. - 445 с.

4. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика [Текст]/ Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. - М.: МЦНМО, 2006. - 400 с.

5. Виленкин, Н.Я. Популярная комбинаторика [Текст] / Н.Я. Виленкин. - М.: Наука, 1975. - 208 с.

6. Глеман, М. Вероятность в играх и развлечениях Элементы теории вероятностей в курсе сред. школы [Текст]: пособие для учителя/ М. Глеман, Т. Варга. - М.: Просвещение, 1979. - 176 с.

7. Гмурман, В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистики [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1999. - 400 с.

8. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2000. - 479 с.

9. Днепров, Э.Д. Сборник нормативных документов. Математика [Текст] / Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. - М.: Дрофа, 2004. - 79 с.

10. Иванов, В.С. Основы математической статистики [Текст]: учебное пособие для институтов физической культуры / В. С. Иванов. - М.: Физкультура и спорт, 1900. - 176 с.

11. Караулова, Л.В. Математические задачи, как средство формирования профессионально значимых умений студента [Текст]: дисс. на соискание степени канд. пед. наук / Л.В. Караулова. - Киров, 2004. - 184 с.

12. Крутихина, М. В. Элективные курсы по математике [Текст]: учебно-методические рекомендации / М. В. Крутихина, З. В. Шилова. - Киров: ВятГГУ, 2006. - 40 с.

13. Маркова, В.И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] / В.И. Маркова. - Киров: КИПК и ПРО, 2006. - 200с.

14. Маркова, В.И. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы [Текст]: методическое пособие / В.И. Маркова. - Киров: Изд-во Кировского ИУУ, 2004. - 58 с.

15. Масальгин, Н. А. Математико-статистические методы в спорте [Текст] / Н. А. Масальгин. - М.: Физкультура и спорт, 1974. - 151 с.

16. Матальский, М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах [Текст]: учебное пособие / М.А. Матальский, Т.В. Романюк. - Гордно: ГрГУ - 2002. - 248 с.

17. Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных [Текст]: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразовательных учреждений /А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2003. - 46 с.

18. Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями [Текст] / Ф. Мостеллер. - М.: Наука, 1975. - 112 с.

19. Наше образование - Элективные курсы и культура выбора [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.gluki-obrnauki.ru/Cult.html.

20. Паршиков, А.Т. Спортивная школа как социально-педагогическая система: социальное проектирование [Текст] / А.Т. Паршиков. - М.: Советский спорт, 2003. - 352 с.

21. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2005. - 256 с.

22. Проект "Профильная школа" России [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.rkodm.chita.ru/experiment/profil-proekt.htm.

23. Солодовников, А.С. Теория вероятностей [Текст] / А.С. Солодовников. - М.: Просвещение, 1978. - 192 с.

24. Тюрин, Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [Текст] / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2008. - 256 с.

25. Фадеев, Д.К. Элементы высшей математики для школьников [Текст] / Д.К. Фадеев. - М.: Наука, 1987. - 335 с.

26. Шибасов, Л.П. За страницами учебника математики. Мат. анализ. Теория вероятностей. Старин. и занимат. задачи [Текст]: кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. - М.: Просвещение, 1997. - 269 с.

27. Шихова, А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе [Текст] / А.П. Шихова. - Киров: Вятка, 1994. - 62 с.

Приложение 1

Программа элективного курса по математике

"Основы теории вероятностей и математической статистики"

Пояснительная записка

Элективный курс "Основы теории вероятностей и математической статистики" разработан для обеспечения старшеклассников занятиями по выбору из вариативного компонента базисного учебного плана в старшей профильной школе. Предлагаемый элективный курс позволяет осуществлять задачи профильной подготовки старшеклассников, обучающихся в классах оборонно-спортивного профиля.

Курс позволяет выпускнику средней школы приобрести необходимый и достаточный набор умений в области теории вероятностей и статистики.

Цель - формирование новых знаний у учащихся в области комбинаторики, теории вероятности и статистики, формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

Задачи:

1) научиться решать основные комбинаторные задачи;

2) научиться применять полученные знания в области комбинаторики к решению различных задач теории вероятности.

3) научиться решать простейшие задачи корреляционного анализа.

4) интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе. Развитие мыслительных способностей учащихся: умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.

5) воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.

Требования к уровню освоения содержания курса. В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

- имеют представление о математике как форме описания и методе познания действительности;

- умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;

- умеют самостоятельно работать с математической литературой;

- знают основные правила комбинаторики;

- знают основные понятия теории вероятности и статистики;

- умеют решать задачи по теории вероятности и статистики, применяя формулы комбинаторики;

- умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;

- умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Содержание и требования курса

Тема 1. Комбинаторика.

Основные формулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями, размещения с повторениями, выбор без учета порядка. Правило суммы, правило произведения.

Учащиеся должны знать: что такое факториал числа, его основные свойства; как записываются формулы комбинаторики, и понимать их.

Учащиеся должны уметь: рационально решать комбинаторные задачи, применяя формулы.

Тема 2. Вероятность.

Основные понятия теории вероятности. Операции над событиями. Классический, статистический подход к определению вероятности. Основные правила вычисления вероятностей. Формула полной вероятности, Бейеса.

Учащиеся должны знать: что такое событие, зависимые (независимые) события, совместные (не совместные) события; определения суммы, произведения событий и противоположного события; в чем отличия между статистическим и классическим подходом к определению вероятности событий; определение условной вероятности, как вычислять произведение (сложение) независимых или зависимых (совместных или несовместных) событий; запись формулы полной вероятности и формулы Бейеса.

Учащиеся должны уметь: рационально решать задачи, применяя формулы комбинаторики и основные правила вычисления вероятностей.

Тема 3. Случайные величины.

Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии.

Учащиеся должны знать: что такое случайная величина; определения дискретной и непрерывной случайной величины, уметь различать их; что такое закон распределения случайной величины; определения математического ожидания и дисперсии, понимать их практический смысл.

Учащиеся должны уметь: вычислять математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины.

Тема 4. Статистика.

Общие сведения. Вариационные ряды и их графические представления. Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.

Учащиеся должны знать: основные определения статистики; как вычислять дисперсию и математическое ожидание для генеральной совокупности и выборки; определение статистической гипотезы и основы корреляционного анализа.

Учащиеся должны уметь: изображать вариационные ряды; находить эмпирические линии регрессии и уравнение линии регрессии.

Календарно-тематический план курса

Тема

тип

Случайные события, операции над событиями, вероятность событий.

Лекция

Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике

Практика

Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике.

Практика

Решение задач, использующие классическое определение вероятности

Практика

Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса.

Лекция

Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события.

Практика

Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события.

Практика

Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса.

Практика

Случайные величины, дискретные и непрерывные случайные величины.

Лекция

Закон распределения случайной величины, построение полигона частот

Практика

Математическое ожидание и дисперсия

Лекция

Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин

практика

Статистика. Общие сведения

Лекция

Вариационные ряды и их графическое изображение

Лекция

Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.

Лекция

Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.

Лекция

Корреляционный анализ.

Лекция

Корреляционный анализ.

Лекция

Корреляционный анализ.

Практика

Корреляционный анализ.

Практика

Подготовка к контрольной работе

Практика

Подготовка к контрольной работе

Практика

Контрольная работа

Практика

Контрольная работа

Практика

Занятие 1

В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть, например мы не можем точно сказать при подбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой. Аналогично не можем точно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях. Говоря о случайных событиях в нашем сознании возникает представление о вероятности явления.

Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.

Пример: бросаем кубик - это испытание. Бросаем два кубика - другое испытание.

Результатом испытания является событие.

Событие бывает:

- достоверное (всегда происходит в результате испытания);

- невозможное (никогда не происходит);

- случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например:

1) выпадет восемь очков (невозможное);

2) выпадет не более 6 очков (достоверное);

3) выпадет число три (случайное).

Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти.

Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.

Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо - событие. Другой пример события - это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости.

В теории вероятности события обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, D…

Определение: События А и В называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События А и В называются совместными, если они могут произойти в результате одного испытания.

Пример: испытание - один раз подбрасываем монету. События: а) выпадет орел; б) выпадет решка.

События А и В не совместны так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка.

Определение: Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пример: Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие А тот факт, что первая монета упадет гербом, событие В - вторая монета упадет гербом, событие С - на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события А, В, С попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, А и В независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, А и С (а также В и С) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что р(AС) = 1/4 = р(А)р(С), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Операции над событиями

1.Сумма

Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.

Пример: Бросается кубик событие А - выпадет число 2. Событие В - выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В. Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа

2. Произведение

Событие С называется произведением А и В, если оно состоит из всех событий, входящих и в А, и в В.

Пример: С=А*В (А- выпадет 3, В - выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом.

3.Противоположное

Событие называется противоположным событию А, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом .

Пример: Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты.

Вероятность событий

а)статистический подход.

Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено n испытаний, в результате которых событие А появилось ровно m раз. Тогда отношение - называют относительной частотой.

Также при большом количестве повторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируется около определенного значения, а при небольшом количестве повторений она может принимать различные значения. Каждое такое значение в конкретном случае принято называть вероятностью события А и обозначают Р(А).

Так как n всегда больше либо равно N, то вероятность заключена в интервале: .

Примером может служить выпадение герба или цифры при бросании монеты, которое является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадет герб, а в 50% - цифра. А это уже определенная закономерность. Здесь нас интересует не результат отдельного подбрасывания, а то, что получится после многократных подбрасываний.

б)классическое определение.

В некоторых случая вероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний. Пусть испытание имеет n возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного из данных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того, по условиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при n равновозможных исходах интерес представляет событие А, которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных n-m исходах. И принято говорить, что в данном испытании имеется n случаев, из которых m благоприятствуют появлению события А. В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (т.е. m), к общему числу всех исходов n: .

Пример 1. Из колоды с 36 перемешанными картами наудачу извлекается одна карта. Извлечение каждой карты из 36 является равновозможным событием. Поэтому вероятность извлечения "короля" составляет 4/36 = 1/9, карты выбранной масти - 9/36 = 1/4, карты выбранного цвета - 18/36 = 1/2.

Пример 2. Бросают две игральные кости. Требуется найти вероятность того, что сумма очков делится на 5. Возможные суммы очков, делящиеся на 5, равны 5 и 10. Событию "сумма очков равна 5" благоприятствуют события (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), а событию "сумма очков равна 10" - события (4; 6), (5; 5), (6; 4). Таким образом, число благоприятствующих исходов равно 7, общее число равновозможных исходов - 6 " 6 = 36, поэтому вероятность события "сумма очков делится на 5" будет 7/36.

Пример 3. Вероятность извлечения белого шара (событие Б) из урны, содержащей три черных и четыре белых шара: р(Б) = 4/7.

Занятие 2

1. В 9 классе 10 учебных предметов. Сколькими способами можно поставить в среду первый и второй уроки?

2. Для составления двух команд из 40 человек надо выбрать капитанов команд. Каким числом способов это можно сделать?

3. На три призовых места претендуют Вася, Дима и Коля. Каким числом способов могут распределиться призовые места?

4. Сколько существует трехзначных чисел, оканчивающихся тройкой?

5. В партии 10 лотерейных билетов выигрышными являются 5. Приобретено 3 билета. В скольких случаях среди них есть хотя бы один выигрышный?

6. Четыре футболиста, четыре хоккеиста и два баскетболиста хотят сфотографироваться, стоя в один ряд, но так чтобы представители одного вида спорта стояли рядом. Каким числом способов они могут сделать это?

7. В некотором царстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Каково максимальное количество жителей этого государства?

8. В урне лежат 10 жетонов с числами 1, 2, 3, 4, …, 10. Из нее вынимают три жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел равна 9? Не меньше 9.

Занятие 3

1. Сколькими способами можно разложить в два кармана пять купюр достоинством в 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей?

2. Из десяти волейбольных мячей, обозначенных цифрами от 1 до 10, нужно выбрать пять мячей так, чтобы среди выбранных был элемент мяч с номером 5. Сколькими способами это можно сделать?

3. Сколько можно составить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных букв, если гласные и согласные должны чередоваться?

4. Сколькими способами можно разбить 20 футболистов на две команды так, чтобы одна содержала 3 человека, а другая 15 ?

5. Во скольких девятизначных числах все цифры различны?

6. Сколько различных пятизначных чисел можно записать из цифр числа 273485961 так, чтобы четные и нечетные цифры в числе чередовались?

7. Двадцать различных книг отдано двум продавцам. Сколькими способами они могут распределить, если все книги могут быть отданы одному продавцу?

Занятие 4

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна 8, а разность четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение - четырем?

2. В ящике имеется 10 одинаковых деталей, помеченные номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь №1; б) детали №1 и №2.

3. Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке "Спортлото" (игра из 49) к чисел будут выигрышными.

4. Известно, что среди 40 участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 мастера спорта.

5. На карточках написаны буквы: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают в том порядке в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово ФИЗКУЛЬТУРА.

6. Во всероссийском дне бега каждому участнику присваивался определенный четырехзначный номер. И была проведена акция всем тем у кого на номере встречаются два раза цифра 7 получают в подарок кружку. Определите сколько кружек должен приготовить спорткомитет.

Занятие 5

Приведем основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

1.Вероятность достоверного события равна единице: Р(Е)=1.

2. Вероятность невозможного события равна 0: Р(Ø)=0.

3. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Пример: Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь, выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой из дверей он тратит 5 секунд. Найти вероятность того, что он откроет все двери за 15 секунд.

Решение. Пусть событие А - "открыты все двери". Разобьем это событие на более простые. Пусть В - "открыта 1-я", С - " открыта 2-я", а D - " открыта 3-я". Тогда, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). По теореме о вероятности произведения независимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(С)Р(D).

Определение. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятностей Р(АВ) к Р(В) и обозначается РА(В): .

Пример: Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ - 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности получим: .

4. Вероятность произведения зависимых событий равна:

Р(АВ)=Р(А)РА(В).

Пример: Изменим задачу: считаем, что преступник - забывчивый человек. Пусть преступник открыв дверь, оставляет ключ в ней. Какова тогда вероятность, что он откроет все двери за 15 сек?

Решение. Событие А - "открыты все двери". Опять, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). Но, теперь события В, С и D - зависимы. По теореме о вероятности произведения зависимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(С|В) Р(D|ВС).

Вычислим вероятности : Р(В)=1/3, РВ(С)=1/2 (ключа осталось только два и один из них подходит!), РBC(D)=1/1 и, значит, Р(А)=1/6 .

5. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Р(А1+ А2+…+ Аn)=Р(А1)+ Р(А2)+…+ Р(Аn).

Пример: В урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным?

Решение. Пусть событие А - появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые. Пусть В1 - появление белого шара, а В2 - черного. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Так как В1 и В2 - несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2).

6.Вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

В общем случае данная формулы выглядит так:

Пример: Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник?

Решение. Пусть событие А - "обнаружен хотя бы один преступник". Разобьем это событие на более простые. Пусть В1 - обнаружен первый преступник, а В2 - обнаружен второй преступник. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Так как В1и В2 - совместные события, то по теореме о вероятности суммы событий

Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2)-Р(В1 В2) = 0,5+0,5 - 0,25=0,75.

Занятие 6

1. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число: б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны?

2. Монета брошена два раза найти вероятность, что хотя бы один раз появится герб.

3. В коробке имеется шесть одинаковых жетонов с различными номерами. По одному наудачу извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

4. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найдите вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

5. В волейбольной команде 6 мастеров спорта и 4 кандидата. Наудачу выбранным семи человекам дали премию. Найти вероятность того, что среди получивших премию окажутся три кандидата в мастера спорта?

6. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

7. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

8. Два стрелка стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

Домашнее задание

1. Монету бросают два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

2. Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке "Спортлото" (игра из 49) к чисел будут выигрышными.

3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

Занятие 7

1. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность, того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

2. Брошены три игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) на двух выпавших гранях появиться одно очко, а на третьей грани - другое число очков.

3. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4 можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

4. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятности, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

5. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

6. В цехе работают 7 мужчин и три женщины. Наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

7. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменаторам три вопроса.

Домашнее задание

1. В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.

2. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.

Занятие 8

Определение. Совокупность событий А1, А2, …, Аn называется полной группой событий, если выполняются следующие условия:

а) она описывает все возможные исходы;

б) события попарно независимы и не совместны.

Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Нам также известны вероятности , , …, . Как можно найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:

Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

Пример: В проведении операции по освобождению заложников участвуют 2 группы снайперов: 10 человек с винтовкой ОП21 и 20 человек с АКМ47. Вероятность поражения из ОП21 - 0,85, а АКМ47 - 0,65. Найти вероятность того, что при одном выстреле произвольного снайпера преступник будет поражен.

Решение. Пусть событие А - "преступник поражен". Разобьем это событие на более простые. Преступник может быть поражен либо из ОП21, либо из АКМ47. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен ОП21 (событие Н1) равна 10/30. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен АКМ47 (событие Н2) равна 20/30.

Вероятность того, что преступник поражен равна:

Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности:

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

Заменив получим:

Пример: На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460-на 2-м и 340 - на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го - 0,02, для 3-го - 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?

Решение: Пусть А - событие, состоящее в том, что взятый Подшипник нестандартный, а - Н1, Н2, Н3, гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м, 2-м или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют : Р(Н1)=200/1000=0.2, Р(Н2)=460/1000=0.46, Р(Н1)=340/1000=0.34.

Из условия задачи следует, что р1=РН1(А)=0,03; р2=РН2(А)=0,02; р3=РН3(А)=0,01.

Найдем вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным, изготовлен 1-м заводом. По формуле Бейеса имеем:

Занятие 9

1. Среди N экзаменационных билетов n "счастливых". Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым? Какова вероятность взять "счастливый" билет у последнего студента?

2. Экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

3. Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказной работы прибора при отсутствии повреждений равна 0,99, при перегреве - 0,95, при вибрации - 0,9, при вибрации и перегреве - 0,8. Найти вероятность Р1 отказа этого прибора во время работы в жарких странах (вероятность перегрева - 0,2, вибрации - 0,1) и вероятность Р2 отказа во время работы в передвигающейся лаборатории (вероятность перегрева - 0,1, вибрации - 0,3), если считать перегрев и вибрацию независимыми событиями.

4. По каналу связи передают символы А, В, С с вероятностями 0,4; 0,3; 0,3 соответственно. Вероятность искажения символа равна 0,4, и все искажения равновероятны. Для увеличения надежности каждый символ повторяют четыре раза. На выходе восприняли последовательность ВАСВ. Какова вероятность того, что передали АААА, ВВВВ, СССС?

5. На наблюдательной станции установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения целей с помощью первого локатора равна 0,86, второго 0,9, третьего 0,92, четвертого 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели?

6. Вероятность того, что двое близнецов будут одного пола 0,64, а вероятность рождения в двойне первым мальчика 0,51. Найти вероятность того, что второй из близнецов будет мальчиком, при условии, что первый из них мальчик.

Домашнее задание

1. Некоторая деталь производиться на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в к раз превышает объем второго. Доля брака на первом заводе 0,3, на втором 0,2. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом?

2. Среди женщин - избирателей 70% поддерживают кандидата А, а среди мужчин 60%. Используя данные переписи, согласно которым доля женщин избирателей составляет 55%, оценить вероятность победы на выборах кандидата А.

3. Трое сотрудников фирмы выдают соответственно 30%, 50%, 20% всех изделий, производимой фирмой. У первого брак 2%, второго 5%, третьего 1%. Какова вероятность, что случайно выбранное изделие дефектно?

Занятие 10

Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину с полем данного испытания.

Для лучшего понимания рассмотрим пример. При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 - есть возможные значения этой величины.

Определение: Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х1, х2, х3 .

Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Рассмотрим следующий пример: Число мальчиков пошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людей есть случайная величина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …, 100. Эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений Х . таким образом в этом примере случайная величина принимает отдельные изолированные значения.

Приведем второй пример: расстояние, которое пролетит диск при метании, есть величина случайная. Действительно величина зависит от многих факторов, например от ветра, температуры и других факторов, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а;b).

В данном примере случайная величина может принять любое из значений промежутка (а;b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о том, что целесообразно будет различать случайные величины, принимающие лишь отдельные изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Еще примерами непрерывных случайных величин могут быть спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и другие.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Для задания дискретной случайной величины не достаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, в виде формулы и графически.

При табличном задании первая строка содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

Х

р

р1

р2

рn

Сумма вероятностей второй строки таблицы равнеа единице:

Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной ве